Girassóis, Pinhas e Fibonacci

A propósito das espirais que aparecem na imagem aqui à direita neste post, perguntaram-me qual a relação entre a sequência de Fibonacci e as espirais das pinhas e de algumas flores.

Em primeiro lugar gostaria de esclarecer que as espirais que aparecem no copo visto de cima nada têm a ver com a sequência de Fibonacci.

Neste copo existe um conjunto de 30 espirais passando pelos bicos da superfície do copo, em que pintei duas de verde e outro conjunto, também de 30 espirais, em que pintei duas de laranja.

Estas curvas em forma de espiral podem ser associadas ao que acontece à quadrícula existente numa superfície plana que seja deformada até se transformar numa superfície curva parecida à do copo. Na imagem à direita apresenta-se a quadrícula com e sem deformação.


As espirais laranja, ao evoluírem do centro para a periferia viram para a direita enquanto as verdes viram para a esquerda. Neste caso o número de espirais que vira para a esquerda é exactamente igual ao número de espirais que vira para a direita. A figura é simétrica em relação ao centro e a muitos eixos.

Passo agora a apresentar duas figuras que também são atravessadas cada uma por dois conjuntos de espirais:







Desenhei as espirais a partir da periferia para o centro pois é mais fácil reconhecer a que curva pertence cada ponto. Notar que tive dúvidas em relação a alguns dos pontos centrais pelo que não os liguei.

Nestes dois novos exemplos, em que as espirais verdes viram para a direita quando se afastam do centro e as espirais vermelhas viram para a esquerda quando se afastam do centro, constatamos que na figura “Girassol (100 pontos)” existem 13 espirais verdes e 21 vermelhas, enquanto na figura “Girassol (200 pontos) existem 21 espirais vermelhas e 34 espirais verdes.

A sequência de Fibonnaci é 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...(há quem diga que começa em 0) pelo que alguém já terá reparado que os números de espirais verdes e vermelhas que se encontram em cada uma das duas nuvens de pontos pertencem á sequência de Fibonacci.

E o que é que estas duas nuvens de pontos têm a ver com pinhas e com flores, perguntará agora o leitor mais impaciente.

As pinhas ficam para mais tarde mas, em relação às flores, constata-se que os pontos daquelas duas imagens correspondem com bastante exactidão às flores elementares que constituem a inflorescência que é um girassol.

Obtive as nuvens de pontos fazendo uma folha excel que calcula a fórmula proposta por Helmut Vogel em 1979, como modelo para a distribuição das flores na inflorescência de um girassol, em coordenadas polares: r = c √ n; θ = n x 137,5º, conforme explicado aqui.

Surpreende-me como uma fórmula tão simples pode originar esta riqueza de padrões. A seguir mostro as mesmas nuvens de 100 e de 200 pontos sem os segmentos de recta a materializar as espirais, para facilitar a tarefa de quem queira traçar as espirais ele próprio.

Ainda não percebo como surgem estes conjuntos de espirais. Para ter uma maior sensibilidade ao que se passa fiz uma nuvem em que os primeiros 100 pontos, os interiores, foram marcados a preto e os 100 subsequentes a vermelho. As 21 espirais vermelhas que existiam na nuvem de 100 pontos são as mesmas presentes na nuvem de 200 pontos mas as espirais verdes que passaram de 13 a 34 são, como seria de esperar, diferentes.

A figura ao lado mostra a transição das 13 para as 34 espirais. As 13 espirais da nuvem de 100 pontos continuam lá mas é possível continuar para dentro as novas espirais cujo trajecto, na nuvem de 100 pontos, se limitaria a um ou dois segmentos.

O facto de eu ter recorrido a espirais desenhadas à mão revela a minha ignorância sobre algoritmos para as identificar, o que não quer dizer que não existam mas, mesmo que existam, já estão fora do âmbito deste post.

Julgo ter mostrado do que se fala ao referir a sequência de Fibonacci em relação aos conjuntos de espirais que estão presentes nos girassóis. Continuo surpreendido quer com a simplicidade da fórmula que permite gerar estas nuvens de pontos quer também com a data relativamente recente (1979!) em que Helmut Vogel a propôs.

A distribuição dos pontos apresenta uma densidade muito regular em toda a área abrangida, o que constitui uma vantagem, sendo uma forma muito elegante de preencher um círculo.

Evitei mostrar imagens das pinhas porque são superfícies não planas mas neste site mostram espirais seguindo também a sequência de Fibonacci.

A maior parte deste post resultou de consultas destas entradas na Wikipedia:
- Sunflower, Fermat’s Spiral , Golden angle

Este tema é muito vasto e o Google fornecerá certamente muitos mais sítios a explorar. Este tinha imagens interactivas.

Para finalizar deixo esta imagem da Wikipedia obtida por L. Shyamal e mostrada aqui.