Girassóis, Pinhas e Fibonacci

A propósito das espirais que aparecem na imagem aqui à direita neste post, perguntaram-me qual a relação entre a sequência de Fibonacci e as espirais das pinhas e de algumas flores.

Em primeiro lugar gostaria de esclarecer que as espirais que aparecem no copo visto de cima nada têm a ver com a sequência de Fibonacci.

Neste copo existe um conjunto de 30 espirais passando pelos bicos da superfície do copo, em que pintei duas de verde e outro conjunto, também de 30 espirais, em que pintei duas de laranja.

Estas curvas em forma de espiral podem ser associadas ao que acontece à quadrícula existente numa superfície plana que seja deformada até se transformar numa superfície curva parecida à do copo. Na imagem à direita apresenta-se a quadrícula com e sem deformação.


As espirais laranja, ao evoluírem do centro para a periferia viram para a direita enquanto as verdes viram para a esquerda. Neste caso o número de espirais que vira para a esquerda é exactamente igual ao número de espirais que vira para a direita. A figura é simétrica em relação ao centro e a muitos eixos.

Passo agora a apresentar duas figuras que também são atravessadas cada uma por dois conjuntos de espirais:







Desenhei as espirais a partir da periferia para o centro pois é mais fácil reconhecer a que curva pertence cada ponto. Notar que tive dúvidas em relação a alguns dos pontos centrais pelo que não os liguei.

Nestes dois novos exemplos, em que as espirais verdes viram para a direita quando se afastam do centro e as espirais vermelhas viram para a esquerda quando se afastam do centro, constatamos que na figura “Girassol (100 pontos)” existem 13 espirais verdes e 21 vermelhas, enquanto na figura “Girassol (200 pontos) existem 21 espirais vermelhas e 34 espirais verdes.

A sequência de Fibonnaci é 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...(há quem diga que começa em 0) pelo que alguém já terá reparado que os números de espirais verdes e vermelhas que se encontram em cada uma das duas nuvens de pontos pertencem á sequência de Fibonacci.

E o que é que estas duas nuvens de pontos têm a ver com pinhas e com flores, perguntará agora o leitor mais impaciente.

As pinhas ficam para mais tarde mas, em relação às flores, constata-se que os pontos daquelas duas imagens correspondem com bastante exactidão às flores elementares que constituem a inflorescência que é um girassol.

Obtive as nuvens de pontos fazendo uma folha excel que calcula a fórmula proposta por Helmut Vogel em 1979, como modelo para a distribuição das flores na inflorescência de um girassol, em coordenadas polares: r = c √ n; θ = n x 137,5º, conforme explicado aqui.

Surpreende-me como uma fórmula tão simples pode originar esta riqueza de padrões. A seguir mostro as mesmas nuvens de 100 e de 200 pontos sem os segmentos de recta a materializar as espirais, para facilitar a tarefa de quem queira traçar as espirais ele próprio.

Ainda não percebo como surgem estes conjuntos de espirais. Para ter uma maior sensibilidade ao que se passa fiz uma nuvem em que os primeiros 100 pontos, os interiores, foram marcados a preto e os 100 subsequentes a vermelho. As 21 espirais vermelhas que existiam na nuvem de 100 pontos são as mesmas presentes na nuvem de 200 pontos mas as espirais verdes que passaram de 13 a 34 são, como seria de esperar, diferentes.

A figura ao lado mostra a transição das 13 para as 34 espirais. As 13 espirais da nuvem de 100 pontos continuam lá mas é possível continuar para dentro as novas espirais cujo trajecto, na nuvem de 100 pontos, se limitaria a um ou dois segmentos.

O facto de eu ter recorrido a espirais desenhadas à mão revela a minha ignorância sobre algoritmos para as identificar, o que não quer dizer que não existam mas, mesmo que existam, já estão fora do âmbito deste post.

Julgo ter mostrado do que se fala ao referir a sequência de Fibonacci em relação aos conjuntos de espirais que estão presentes nos girassóis. Continuo surpreendido quer com a simplicidade da fórmula que permite gerar estas nuvens de pontos quer também com a data relativamente recente (1979!) em que Helmut Vogel a propôs.

A distribuição dos pontos apresenta uma densidade muito regular em toda a área abrangida, o que constitui uma vantagem, sendo uma forma muito elegante de preencher um círculo.

Evitei mostrar imagens das pinhas porque são superfícies não planas mas neste site mostram espirais seguindo também a sequência de Fibonacci.

A maior parte deste post resultou de consultas destas entradas na Wikipedia:
- Sunflower, Fermat’s Spiral , Golden angle

Este tema é muito vasto e o Google fornecerá certamente muitos mais sítios a explorar. Este tinha imagens interactivas.

Para finalizar deixo esta imagem da Wikipedia obtida por L. Shyamal e mostrada aqui.

Regresso à Botânica

O vestido vermelho do post anterior foi feito numa altura em que os mercados financeiros estavam muito mais exuberantes do que actualmente.

Esperando por melhores dias, optei por regressar à Natureza (se bem que ajardinada) tendo sido guiado pelas linhas rectas que no vestido convergiam no umbigo e que aqui convergem num ponto que parece atrair tudo, criando uma sensação de quase vertigem.

Devia ter tomado nota do nome desta planta existente no Jardim Botânico da ilha de Lokrum, a 15 minutos de barco da cidade de Dubrovnik, na Croácia. Como não o fiz deixo aqui uma foto da planta em questão que conjecturo tratar-se duma "puya", uma planta nativa da América do Sul. Se alguém souber o nome agradeço a informação.

A foto da esquerda é a que eu tirei em Lokrum e a da direita é uma imagem que encontrei na net aqui e que foi tirada no Peru. A da direita trata-se de uma Puya de Raymondi, a da esquerda presumo que não.



Gostei muito desta pequena palmeira bem como da foto. Ao fotografar árvores, várias vezes o reflexo do sol nas folhas tem baralhado a minha máquina fotográfica levando a uma exposição incorrecta. Desta vez acho que a imagem saiu bem.

Belo, Bonito e Esquisito

Pensei que na sequência de um corpo nu e de um corpo envolto num vestido o próximo elemento da sequência deveria ser um vestido sem corpo, neste caso revestindo um manequim.

Trata-se de uma foto que tirei duma montra de Manhattan e que a Sara Pais tinha gentilmente publicado aqui.

O vestido faz lembrar um Origami, tema já abordado neste blogue aqui e aqui e conjecturo se terá sido desenhado pelo Issey Miyake de quem recordo ter visto uns vestidos muito originais com umas pregas como as dos origamis, embora às vezes também fizessem lembrar as saias plissadas da minha juventude de que tenho má memória. Na busca duma imagem parecida passei pelo site deste estilista e fiquei muito bem impressionado com a qualidade da apresentação.

O vestido fez-me também pensar na relação difícil que os Portugueses têm com as coisas boas.

É-nos difícil dizer que algo é belo, a palavra é usada quase exclusivamente antes de um substantivo mas aí no sentido da perfeição, como num belo jantar ou num belo passeio. Neste caso será talvez um pouco mais que bom. Soaria pretensioso dizer que "este vestido é belo".

Poderemos dizer que é um vestido bonito mas aí podemos ser interpretados como querendo dizer que é uma coisa "bonitinha" dir-se-ia que um pouco kitsch.

Mas onde as conotações portuguesas correm verdadeiramente mal é na evolução etimológica do significado de "esquisito", outro dos adjectivos possíveis de aplicar a este vestido. Enquanto que o "exquis" francês, o "exquisite" inglês e o "exquisito" espanhol (dizem-me que também o alemão) significam todos algo extremamente requintado e fora do comum, em português o significado limita-se a caracterizar algo como estranho, fora da norma e mesmo nalguns casos como algo estragado (como em "está com um gosto esquisito"). Os compatriotas teriam tido assim um grande convívio com a labreguice, sendo incapazes de reconhecer as grandes qualidades das coisas requintadas.

P.S. Ontem estava bloqueado. Dizer "o vestido é lindo ou lindíssimo" resolve a questão.

Winslow Homer

A propósito da maior liberdade que sinto para seleccionar uma parte de um quadro, embora mantendo respeito pela obra e mostrando primeiro uma versão com menos definição da sua totalidade, seleccionei este quadro, "Dinner Horn", que vi na National Gallery em Washington.

O quadro foi pintado em 1870 pelo Winslow Homer, um pintor americano famoso do século XIX.

Gostei imenso da figura da rapariga, da luz, do vento, do ar desembaraçado. Está a tocar a corneta para o jantar.






Segundo a Wikipedia este pintor foi um autodidacta, situação em que me tenho encontrado com grande frequência, não sei se por falta de paciência para ouvir os professores, se por escassez destes nas áreas específicas a que me tenho dedicado.

Estava a pensar dizer que também fui autodidacta na construção deste blogue mas lembrei-me a tempo dos exemplos que me forneceram os blogues que constam da minha lista e que me deram muitas ideias sobre o que poderia ser o meu blogue.

Não são frequentes em Portugal as referências a este pintor. No blogue "Hole Horror", em que as imagens ocupam um pouco menos de espaço que aqui e os textos um pouco mais, tinha um quadro do Winslow Homer neste post.

Amrita Sher-Gil (2)

Gostei, entre outros, destes dois quadros da Amrita Sher-Gil:

Amrita Sher-Gil (1913-1941)

A propósito de diversidade gostei de uma destas 3 imagens que me enviaram num e-mail, no meio de um ficheiro Power-point com outros quadros. Surpreendeu-me que tivesse sido feito por uma indiana e fui à procura de mais imagens da pintora Amrita Sher-Gil e da sua biografia.

Nessa busca descobri mais duas versões do mesmo quadro, que apresento a seguir:


Eu diria que neste caso parece haver diversidade a mais na apresentação de um mesmo quadro embora o problema seja conhecido: é frequente os posters (ou as reproduções em livros de arte) terem variações grandes das cores em relação ao original e já me tem acontecido ficar um pouco decepcionado pelo original por me ter afeiçoado às cores de uma reprodução.

O mesmo me acontecia quando pedia mais cópias de uma fotografia em papel, sendo raro que as cópias viessem com tonalidade de cor, brilho e ou contraste idênticos à primeira cópia. Aos poucos fui abandonando a ideia de uma reprodução exacta da realidade. Na verdade, como a imagem é muito influenciada pela luz existente, é praticamente impossível, ainda por cima utilizando material fotográfico amador, obter a tal imagem "exacta".

Neste caso específico de reprodução de um quadro a luz usada para o fotografar deveria ser oo mais possível idêntica à usada para o pintar. Acho que a versão da esquerda tem azuis a menos, o do meio perde detalhe, nomeadamente no dragão, parecendo-me que o da direita é o que reproduz mais fielmente o quadro.

Apresento a imagem preferida um pouco maior aqui em baixo. O enquadramento desta imagem corta uma parte do quadro mas tenho vindo a sentir ultimamente que tenho o "direito" de seleccionar uma parte de uma imagem, quer para destacar um pormenor quer para obter um formato mais conveniente. Neste caso não tive possibilidade de escolha em relação ao enquadramento, era o que havia.

Viva a diversidade!

A propósito do "Viva a diversidade!" do post anterior lembrei-me deste cartaz notável da 5ª Festa da Diversidade de Lisboa em 2003. À primeira vista julguei que fosse alguma maquilhagem mais radical, só após algum tempo me apercebi que se tratava da combinação judiciosa das caras de 6 mulheres com tons de pele, de cabelo e idades muito diferentes.

A Escolha e o Iberismo

Nunca tive atracção pela actividade de escolher. Claro que por vezes é necessário escolher mas prefiro não ter que renunciar ao que não foi escolhido. Na realidade nem percebo porque comecei a fazer um blogue como este em que tenho que escolher imagens e depois o que digo e o que não digo.

Mas neste caso destes copos com bicos com que simpatizo, acabei por comprar um de cada cor e vou usá-los só para a água, ficando cada conviva com uma cor diferente. Viva a diversidade, todos diferentes todos iguais...



Mesmo quando quis mostrar a linda vista que o copo proporciona, quando visto por cima, não fui capaz de me decidir entre o cinza e o mel. Apresento os dois:







Acho que não sou iberista por isso representar uma escolha muito restritiva. Porquê uma associação forte a Espanha e não à Inglaterra ou à França ou a um país escandinavo? Associamo-nos a alguém por ele ser nosso vizinho? Por simples proximidade geográfica? Nesse sentido, a integração na União Europeia representa uma escolha muito menos limitativa do que uma união ibérica. E mesmo assim, precisamente pela relutância na rejeição, acho que a União Europeia não pode fechar as portas a quem se queira juntar ao clube, desde que observe as regras necessárias para a admissão.

Le nomade dormant

Gosto muito dos quadros do Henri Rousseau (dit le Douanier) do género naïf, que têm frequentemente um ambiente ou um detalhe misterioso. Será que o leão vai atacar a pessoa indefesa que dorme? Que está a fazer um leão num ambiente tão desértico? E a pessoa que está a dormir porque está sózinha? Estará a pé? Se veio a cavalo ou a camelo porque não estão eles no quadro? Enfim, perguntas simples, que aumentam o tempo que se olha para o quadro e o prazer da observação

Também não sei porque traduzem o título de "O nómada adormecido" por "Sleeping Gypsy", pois nem todos os nómadas são ciganos.

Musée Pilote

Na contracapa de várias revistas Pilote apareceram imagens da série "Musée Pilote" que consistiam em quadros feitos segundo o estilo de um pintor conhecido, à volta de um tema da actualidade.

Dessa série escolhi o quadro intitulado "Le président Nixon, chevauchant l'aigle américain, apporte la Paix au Viet-nam", feito segundo o estilo do Douanier Rousseau por um artista chamado Chica.

A imagem mostra o chão vietnamita esburacado pelos bombardeamentos e as árvores vítimas dos químicos desfolhantes lançados pela aviação americana durante a guerra. Os tons alaranjados serão provavelmente uma referência ao agente laranja, um dos desfolhantes mais usados.

O problema dos nomes que coincidem com uma palavra muito popular ("chica" é rapariga em espanhol) é que são mais difíceis de encontrar através do Google. Restringindo-me a páginas em francês cheguei a esta página. Julgo que Chica será o nome artístico de Marcel Chikhanovitch.

Les chemins de la mémoire

Plagiei no título deste post o título do blogue "Os caminhos da memória"

O Jornal Pilote fez um pouco de humor antes das eleições legislativas francesas de 1973. A esquerda conseguiu concorrer em conjunto pelo que havia alguma espectativa quanto ao resultado. O humor consistia em fornecer várias capas alternativas para a revista, de forma que após as eleições se pudesse seleccionar uma que estivesse em consonância com o vencedor.

As 4 imagens que apresento podem ser vistas com maior definição, ficando as letras mais pequenas facilmente legíveis.

A capa principal tinha mãos de operários e de camponeses (e de soldados...) e a palavra de ordem "Ça Suffit!". Ainda hoje o PCP usa muito a palavra "Basta!", fazendo pensar que há muito tempo que estão à defensiva.

Concorria também o centrista Jean Jacques Servan-Schreiber, autor do livro "Le Défi Américain", que usava a revista "L'Express" como suporte à sua carreira política que acabou por não ter grande sucesso. Daí a adaptação de uma das capas ao grafismo da revista "L'Express".

Acabou por ganhar a direita (UDR- Union des Démocrates pour la République), a que tem uma cruz de Lorena no fim da auto-estrada. "Evolução na Continuidade" era também o mote do Prof. Marcelo Caetano.

As eleições de agora não suscitam tanta emoção. Isso não é necessariamente mau mas claro que é mais monótono.

Na altura havia em França uma grande falta de proporcionalidade entre os votos expressos e os deputados eleitos porque os círculos eram uninominais mas enquanto 10000 "rurais" podiam eleger um deputado, nas cidades eram precisos, por exemplo, 60000. Os círculos rurais votavam tendencialmente à direita enquanto os urbanos à esquerda. Quando a esquerda conseguiu vencer este obstáculo definiu círculos mais proporcionais à população.

Acabei por ir procurar na net o que se passou: neste sítio informa sobre a 5ª Assembleia Nacional francesa da V República cuja eleição decorreu entre 4 e 11 de Março de 1973.

Nous penetrons dans la double page rien que pour le plaisir

Tenho 4 encadernações da revista Pilote, de 1973, que eram muito baratas e tinham uma variedade de autores estonteante. Estive agora a folhear um volume que tem BD de Jean Giraud, Claire Bretecher, Martial, Goscinny, Uderzo, Fred, Tardi, Greg, Mandryka, Colman Cohen, Forest, Clave, Dorville, Frydman, Touis, Ian McDonald, Parras, F'Murr, Massonat, Guy Vidal, Lacroux, Gotlib, Solé, Lob, Poppe, Leconte, Grammat, Billou, Pelaprat, Morris, Annie Goetzinger, Truchaud e Chica.

Descobri este site com informação sobre muitos destes autores, colocados numa lista alfabética.

Alguns destes autores ficaram muito famosos mas para mostrar neste post seleccionei esta dupla página do Colman Cohen, (Le naufrage d'Antonin) em que se entra apenas pelo prazer:

Logo da RATP e Raymond Moretti

Falar de apartamentos fez-me lembrar a cidade de Paris em cujo centro quase não há vivendas e que tem um dos melhores metros do mundo com um logo, fazendo lembrar o rio Sena atravessando Paris e ao mesmo tempo um perfil de uma pessoa, de que gosto imenso.

Sempre que vejo este logo penso na capa de uma revista Pilote (le journal qui s'amusait à réfléchir), que agora sei ser a número 686, onde vinha este desenho estilizado de dois perfis de pessoas.

Ainda não sei o nome do autor do logo da RATP, já vi algumas queixas de que a informação não é facilmente acessível através do Google mas vou agora informar-me sobre quem foi Raymond Moretti.

Wannsee, Air Berlin e Maiorca

A Helena conjecturou neste post que o lago Wannsee, fotografado aqui ao fim do dia, continua rodeado por uma agradável floresta porque “os ricos da Alemanha não gostam de viver em prédios de apartamentos”.



É impossível tratar este tema no âmbito de um post mas eu diria que normalmente as casas dos ricos não perturbam muito a paisagem devido ao seu pequeno número, o problema está na construção em grande quantidade, para poder albergar a classe média.

Julgo que a Alemanha tem conseguido uma muito boa organização do território, mas em Portugal também existem exemplos de gestão razoável de recursos naturais. Retomando o comentário que fiz no post da Helena, por exemplo, a falésia entre a Caparica e o Cabo Espichel também está menos mal e está muito ao pé de Lisboa. Acho que os problemas surgem quando a terra está dividida em lotes pequenos pertencentes a uma multidão de proprietários.

No Algarve os casos mais graves são a Praia da Rocha e Armação de Pera. Ter uma Cãmara Municipal boa, como em Lagoa, ajuda muito e isso é muito visível em Armação de Pera onde o primeiro prédio muito alto aparecia logo após a placa do concelho de Silves. Ter um clube de futebol com pretensões à 1ªdivisão, como por exemplo o Portimonense, torna a gestão das Câmaras mais difícil.


No outro dia fui à ilha de Maiorca e fiquei admirado com o número de aviões da companhia “low-cost” Air Berlin estacionados no aeroporto de Palma de Maiorca. Dado que a costa alemã do Mar do Norte deve ser boa para passear na praia com um impermeável ligeiro e para descansar nos Spas dos hotéis com vista para as dunas, a pressão da classe média alemã sobre a costa exerce-se não tanto na costa alemã (isto não passa de uma conjectura minha, desconheço completamente esta costa do Mar do Norte) mas nos locais da costa mediterrânea para onde se orientou o grande fluxo de veraneantes alemães.


As fotos que tirei das praias de Camp de Mar e de Port de Sóller na ilha de Maiorca, apresentadas aqui à direita, mostram os mesmos edifícios de apartamentos que abundam na costa algarvia. Na realidade, boa parte dos apartamentos do Algarve destina-se à classe média inglesa, assim como os de Maiorca se destinam à alemã.

Digitalização de imagens

Há uma meia-dúzia de anos comprei um scanner de slides e negativos para digitalizar a totalidade das fotos que tinha tirado com a minha velhinha Olympus-OM1. Nessa altura a Hewlett-Packard fabricava um modelo bastante mais barato do que as máquinas da Nikon, da Minolta e de outros fabricantes de máquinas fotográficas. Actualmente essa máquina já não deve estar em produção mas é provável que os adaptadores existentes para slides e negativos nos scanners de papel já tenham atingido uma qualidade equivalente ou próxima.

Consegui concluir a operação e agrada-me ter todos os slides “apenas alguns clicks away”, quando antigamente tinha que montar o écran e o projector, o que estava a ficar cada vez mais raro.

Normalmente usava mais os slides nas viagens, pois as paisagens não cabem nas amplicópias, e as fotos para as pessoas que povoavam os devidos álbuns familiares mas era raro imprimir mais do que 13x18 cm. Após a digitalização pude ver a totalidade das fotos nos écrans de 17 e 19 polegadas, dimensões muito maiores do que o papel e que deram uma vida nova às fotos antigas.

Além das fotos ficarem também facilmente acessíveis, é fácil tê-las também no portátil pelo que estou satisfeito com esta situação.



Na altura li partes deste texto “Digital Darkroom Imaging and Printing Tech Tips” do Steve Hoffmann e foi aí que tomei contacto com a ponta do icebergue das imagens digitais e com este slide Q60 da Kodak para fazer calibrações..

Há tantos parâmetros que podem ser ajustados que mesmo com um único écran a vida já é difícil. Mas a vida é mais complicada ainda pois cada monitor tem muitos parâmetros que podem ser ajustados. Quando temos, por exemplo, um PC fixo e um portátil é provável que a mesma imagem apareça diferente nos dois PCs. A "vantagem" desta complexidade é que quando se põe uma imagem na internet, como nunca sabemos como ela irá ser vista pelas outras pessoas, temos uma razão para não sermos excessivamente perfeccionistas.

A regulação do brilho ideal para ver imagens é para mim excessiva quando estou a escrever texto pelo que costumo ter o monitor com brilho menor do que o ideal para ver imagens.

Poderá verificar no seu monitor se vê todas as cambiantes de cores e toda a gama de cinzentos.

Na Wikipedia tinham também uma versão do Q60 mas sem a cara da mulher:
Neste site "Steve Hoffmann's Nature and Landscape Photography” tem mais uma data de informação sobre imagens digitais.

Recortando o céu - 3

A maior parte das vezes o céu não é recortado por coisas bonitas. O concelho de Lagoa tem-se urbanizado com bastante cuidado e o farol de Ferragudo permanecia isolado sobre o pequeno promontório que foi agora perturbado por um radar novo.



Não gosto da torre espessa e assimétrica que aí instalaram e que veio prejudicar uma das poucas perspectivas agradáveis que subsistia na Praia da Rocha. Poder-se-ia certamente ter instalado uma solução mais esbelta.

A Praia da Rocha costuma ser apontada como uma catástrofe urbanística. Eu retive duas regras simples que me deu um arquitecto há muito tempo:
- quando as praias têm falésia, esta não deve ser visualmente esmagada pelas construções pelo que a altura dos prédios visíveis da praia deve ser pequena ou de preferência não visíveis;
- quando a praia é plana é bom construir em altura para deixar espaços comuns amplos.

De facto, se acharmos que a classe média tem direito a gozar as suas férias na praia, é impossível arranjar uma praia deserta para cada família e é inevitável construir blocos de apartamentos ao pé das praias que forem escolhidas para essas férias massificadas, pelo que não me choca a existência de muitos prédios.

Nesta foto que tirei da Praia da Rocha a partir do molhe, assim ao longe o casario não parece mal, até repararmos que a falésia, antes imponente, quase passa despercebida.



Quando se vai ao pormenor constata-se a má qualidade de muita da arquitectura instalada e a incapacidade de transformar de forma minimamente satisfatória uma malha urbana concebida para vivendas num espaço acolhendo prédios de dez andares.

No entanto, parece-me que esta transformação de uma malha de vivendas numa malha de prédios é quase uma quadratura do círculo. Será?

Recortando o céu - 2

Gosto muito do azul do céu e parece-me que fica mais azul quando contrasta com casas brancas ou rochas amarelas. Entre a Praia da Rocha e a Praia do Vau existem várias praias pequenas, em que os prédios com muitos andares ainda não aparecem por trás das falésias, tendo sido aí que tirei estas três fotos de falésias amarelas/ocres recortando-se contra o céu.

From jj.amarante pictures_02

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