Fazendo Papel de Parede com Figuras de Papiros

Ao ler a Revista do jornal Expresso de 25/Fev/2022 chamou-me a atenção o papel de parede deste anúncio duma peça de teatro:
 

de onde destaquei o detalhe aqui ao lado :

 

Pensei que gostaria de gerar um padrão semelhante, para ver de vez em quando no monitor do meu PC, pois como fundo do respectivo  ambiente de trabalho prefiro uma côr simples para localizar mais facilmente os ícones dos atalhos.

Em Ago/2011 usei uma folha de cálculo Excel (Mosaicos.xls) para desenhar as linhas de separação das pedras claras e escuras de uma “Calçada Platónica”
 

pelo que pensei voltar a usar o Excel para desenhar as linhas deste novo padrão.

Este papel de parede compõe-se de um padrão base delimitado por um semi-círculo e dois quartos de círculo dentro do qual existem várias curvas. O padrão repete-se horizontalmente, em que cada elemento está adjacente ao do lado sem espaço intermédio.
Cada linha é depois reproduzida com uma translação de 45º que fique no ponto em que os dois semi-círculos da linha inicial se tocam.
 

Ao princípio o padrão fazia-me lembrar o topo de uma palmeira mas depois convenceram-me que ainda era mais parecido com os papiros, tão abundantes no Egipto desde há milénios, de que mostro uma fotografia que tirei daqui:
 

e também uma representação estilizada que tirei daqui:

A planta compõe-se de um talo comprido de cujo final saem várias hastes em cujo topo de situam as flores desta planta.

Os papiros antiquíssimos ainda existentes eram feitos com a parte exterior do talo da planta, depois de processados devidamente, processo ainda em uso actualmente, sobretudo para suporte de pinturas para lembranças de turistas.

O motivo padrão do papel de parede tem 10 hastes interiores e mais duas que fazem parte do perímetro exterior do padrão.

Usei um compasso e uma régua para fazer um esboço que passo a mostrar

 

Neste esboço marquei os pontos:
- A: início dos dois quartos de círculo inferiores do padrão a que atribuí as coordenadas xA=0, yA=0
- B: centro do semi-círculo superior, arbitrei que o raio do semicírculo seria 1, coordenadas (0,1)
- C: extremo esquerdo do semicírculo e do quarto de círculo do lado esquerdo, coordenadas (-1,1)
- D: extremo direito do semicírculo e do quarto de círculo do lado direito, coordenadas (1,1)

Existindo 10 hastes interiores no padrão dividi o semi-círculo em 11 intervalos (iguais como parecia na foto) ficando os pontos de contacto das hastes com o semicírulo separados por cerca de 16,4º de distância angular entre eles. Marquei esses pontos usando um transferidor nomeando-os de E a N.

Conjecturei que as hastes poderiam ser arcos de círculo com o centro na recta passando por A e perpendicular ao segmento AB, iniciando o arco em A e terminando num dos pontos E a N. Dessa forma todas as hastes seriam tangentes entre elas no ponto A, e teriam um percurso semelhante ao da foto original.

Para encontrar o centro (CAE) do arco de círculo unindo A a E sobre a recta acima referida coloquei o compasso em A e em E traçando 4 arcos de círculo, todos com o mesmo raio, para encontrar as duas intersecções que definem a mediatriz (desenhada a tracejado no esboço) do segmento de recta AE.

Repeti a operação para os pontos F, M e N, tracei com compasso as 4 hastes AE, AF, AM e AN, ficando satisfeito com o aspecto gráfico do conjunto.

Depois marquei o ângulo α definido pela “recta dos centros das hastes” e o segmento de recta AE que é dado pela expressão 

α = arc tg ( yE / xE)

O centro da haste começando em A e acabando em E será

xCAE = sqrt ( xE2 + yE2 ) /2 x 1/cos(α)

e os pontos dessa haste terão as coordenadas:

xAE= xA + cos(γ) x xCAE + xCAE  em que γ pertence ao intervalo [π-β , π]
yAE= yA + sen(γ) x xCAE                 em que γ pertence ao intervalo [π-β , π]

Nesta folha dum “livro Excel” calculei os ângulos das coordenadas polares dos pontos E a M e a partir destes valores as coordenadas cartesianas de cada um. Calculei também o ângulo Alfa para cada ponto e as abcissas dos centros dos arcos de círculo de cada haste.

 

Copiei o conteúdo da folha1 para a folha2 e calculei então as coordenadas das hastes AE a AI usando 11 pontos para cada haste, começando por definir o ângulo inicial com origem no centro do arco da haste que irá de π (correspondendo ao ponto A) até π-β (correspondendo a um dos pontos E, F, G, H, I). A partir do ângulo calculo as coordenadas x,y de cada arco e usei uma série do gráfico para cada haste. Para as hastes do lado esquerdo fiz simetrias das hastes do lado direito, por exemplo xAJ= -xAI e yAJ= yAI.

Dado que me engano com frequência, gosto de ter uma representação gráfica do que vou fazendo para corrigir eventuais erros. O resultado da definição destas séries no gráfico foi:

 

Depois copiei esta folha para a folha3 tirei os eixos do gráfico, os marcadores das séries, usei em todas a cor "gold" (R=255,G=204,B=0) e mudei o fundo da "plot area" para preto. Obtive então um gráfico com este aspecto

Fazendo um "Print Screen" (tecla PrtScr) e seleccionando apenas a "plot area", numa aplicação simples de tratamento de imagens, obtive a imagem do lado esquerdo

 

Trata-se de uma imagem com 347 x 355 pixels (a largura e a altura são ligeiramente diferentes porque ajustei a forma do gráfico no Excel com uma medição rápida no próprio monitor) e esta dimensão não é adequada para tesselar o plano com este mosaico pelo que reduzi o número de pixéis para metade, obtendo o mosaico do lado direito com 173 x 177 pixéis, com o qual tesselei (tiled) o fundo do ambiente de trabalho (desktop) do Windows obtendo esta tesselação:

Reparei então que me esquecera de desenhar os dois quartos de círculo inferiores e que as linhas que delimitam o padrão que passarei a chamar “semente” são mais grossos do que as hastes interiores, o que me levou a criar a versão 2 da “semente”

ficando assim o ambiente  de trabalho:

 

Hesitei em parar por aqui mas achei que seria melhor completar o trabalho. Talvez numa versão mais recente do Excel sejam produzidos grágicos em que apenas existem as linhas sendo o fundo, por assim dizer transparente, podendo apenas as linhas serem objecto de translação.
Neste caso seria possível fazer translacções quer na horizontal  quer na vertical mas o resultado seria idêntico ao que acabo de mostrar, não sendo possível fazer uma translação de 45º para ocupar os espaços sem hastes sem apagar hastes existentes.

Optei assim por fazer uma versão 3. Na folha 5 dupliquei o número de pontos do semicírculo para ficar com a mesma definição que os quartos de círculo e dupliquei também o número de pontos das hastes.

Na folha 6 defini com uma côr esverdeada (R=153,G=204,B=0) as hastes que faltavam nos 4 cantos. Defini 4 novas séries, cada uma para um dos 4 cantos que era preciso preencher, referindo partes das sequências das hastes que já tinham sido definidas e a adicionando e/ou subtraindo uma unidade a x e/ou a y para realizar a translação, seguindo estas regras:
- no canto superior esquerdo coloquei a parte inferior das hastes de AE a AI
- no canto superior direito coloquei a parte inferior das hastes de AJ a AN
- no canto inferior esquerdo coloquei a parte superior das hastes de AE a AI
- no canto inferior direito coloquei a parte superior das hastes de AJ a AN

O resultado final da semente e da sua redução foi:

ficando assim o ambiente  de trabalho: