Zínias, Calçadas e a elegância matemática

Numa rua em Espanha gostei deste tecido estampado com motivos florais



donde destaco a flor da esquerda que será uma Dália ou talvez uma Zínia e a da direita que deve representar um Crisântemo:



Foi por acaso que descobri o nome da Zínia, de que existem muitas variedades. A Zinnia elegans, por vezes com a forma de “pompon”, é parecida às Dálias. Ao longe, as Zínias poderão também fazer lembrar alguns Crisântemos, a flor do Japão.

Na Casa da Ínsua tinha várias zínias muito bonitas que passo a  apresentar

   


  



A regularidade da colocação das pétalas lembrou-me este gráfico

que eu construíra numa folha MS Excel, para reproduzir um padrão duma calçada que eu tinha visto, e que apresentei num post anterior.

Interroguei-me então se não seria possível “deformar o espaço do gráfico” de forma a obter o mesmo padrão mas disposto em sucessivos anéis circulares concêntricos.

A solução que encontrei tem uma enorme simplicidade e consiste no seguinte:

Seja (x1,y1) um dos pontos da série de dados que define as linhas do gráfico
Sejam xmin e xmax os valores mínimo e máximo das coordenadas x da figura, correspondentes respectivamente aos pontos mais à esquerda e mais à direita.

Se fizermos φ = (x- xmin) . 2π / (xmax-xmin), qualquer valor x pertencente ao intervalo (xmin, xmax) será convertido num ângulo φ pertencendo ao intervalo (0, 2π). No caso de xmin= 0 a fórmula será simplificada para φ = x . 2π / xmax.

Se considerarmos que R=y, convertemos este rectângulo num anel circular.

Para calcular as coordenadas cartesianas (X1, Y1) do ponto de coordenadas polares R1, φ1 bastará calcular X1= Rcos(φ1) e Y1= Rsen(φ1)

Na folha Excel teremos:

   
Obtendo a nova figura mostrada à direita:

Notar que cada fiada de semicírculos no rectângulo acima tem 10 semicírculos e que a transformação que acabo de descrever não mantém invariante a forma do semicírculo, aliás como seria de esperar.

A primeira fiada de semicírculos (aquela em que a coordenada menor de y é igual a 0) tem todos os pontos em que y=0 concentrados na origem das coordenadas polares, formando a “flor central”.

Embora existam 10 fiadas de 10 semicírculos no rectângulo acima, optei por só representar 6 fiadas na figura ao lado.

Depois deste gráfico fiz outro em que desenhei as linhas a cor-de-rosa e colori as pétalas numa aplicação simples de processamento de imagens, concluindo assim a transformação duma calçada numa flor usando uma transformação duma grande simplicidade que me pareceu bastante elegante.