2015-08-18

Pentágonos que preenchem o plano



As cracas do post anterior conseguiram preencher uma superfície aproximadamente plana com formas quase poligonais.

Quando se pretende preencher um plano com formas idênticas as soluções com polígonos regulares são 3: com triângulos, com quadrados e com hexágonos. Modificando uma das escalas, do eixo dos XX ou do eixo dos YY, obtêm-se também figuras que podem preencher o plano transformando, por exemplo, quadrados em rectângulos. Outras transformações ligeiramente mais complicadas mas também triviais consistem um transformar, por exemplo, um quadrado num losango e este num paralelogramo.

Em relação aos pentágonos existiam até este mês 14 classes conhecidas de pentágonos irrregulares que conseguiam preencher o plano. Durante 30 anos não se descobrira mais nenhuma, tendo agora sido descoberta a 15ª, conforme relatam no zap.aeiou e no Guardian.

Esta é a versão colorida mostrada no Guardian mas os pentágonos têm  todos a mesma forma:

 

Na wikipédia tem já (a velocidade de actualização da wikipédia é imbatível) um artigo com a colecção dos 15 tipos de pentágonos de que mostro a imagem:



É óbvio que o 3º padrão corresponde à obtenção de um hexágono com 3 pentágonos, fazendo-se o enchimento depois com os hexágonos, fenómeno semelhante se passa com o 5º mas embora a malha seja hexagonal os hexágonos não aparecem de forma explícita. A última parece bastante irregular, certamente isso pesou na lentidão da sua descoberta.

Gostei muito da 5ª que é abordada de forma mais detalhada na wikipédia que lhe chama Floret pentagonal tiling e de que mostro uma possível coloração destacando simetrias existentes:



 termino com este pentágono não convexo intitulado esfinge, referido também na Wikipédia

 



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